Các phương trình bậc 4 và cách giải

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông, chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt là phương trình trùng phương. Tuy nhiên, trong các đề thi đại học, chúng ta thường gặp các dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương. Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu với các bạn cách giải phương trình bậc 4 dạng ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$.

Biến đổi hợp lý và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể

Ví dụ 1

Giải phương trình ${left( {{x^2} – a} right)^2} – 6{x^2} + 4x + 2a = 0$.

Giải: Phương trình trên có thể viết lại thành ${x^4} – 2a{x^2} + {a^2} – 6{x^2} + 4x + 2a = 0$. Tiếp tục chuyển đổi thành ${x^4} – left( {2a + 6} right){x^2} + 4x + {a^2} + 2a = 0$. Nhìn nhận phương trình này như là phương trình bậc hai đối với $a$, ta có thể tìm được $a$ dựa vào các giá trị đã biết của $x$. Giải phương trình bậc hai đối với $x$:

• ${x^2} + 2x – a – 2 = 0$ (4)
• ${x^2} – 2x – a = 0$ (5)

Các nghiệm tương ứng với (4): ${x{1,2}} = – 1 pm sqrt {3 + a}$ và với (5): ${x{3,4}} = 1 pm sqrt {1 + a}$. Điều kiện để (4) có nghiệm là $3 + a geqslant 0$, và điều kiện để (5) có nghiệm là $1 + a geqslant 0$.

Ví dụ 2

Giải phương trình ${x^4} – {x^3} – 5{x^2} + 4x + 4 = 0$.

Giải: Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng: ${x^4} – {x^3} – {x^2} – left( {4{x^2} – 4x – 4} right) = 0$. Tiếp tục chuyển đổi thành: ${x^2}left( {{x^2} – x – 1} right) – 4left( {{x^2} – x – 1} right) = 0$. Kết quả là: ${left( {{x^2} – 4} right)left( {{x^2} – x – 1} right) = 0}$. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ${x_1} = – 2$, ${x_2} = 2$, ${x_3} = frac{{1 – sqrt 5 }}{2}$ và ${x_4} = frac{{1 + sqrt 5 }}{2}$.

Ví dụ 3

Giải phương trình $32{x^4} – 48{x^3} – 10{x^2} + 21x + 5 = 0$.

Giải: Ta có thể viết phương trình trên dưới dạng: $2left( {16{x^4} – 24{x^3} + 9{x^2}} right) – 7left( {4{x^2} – 3x} right) + 5 = 0$. Đặt $y = 4{x^2} – 3x$, ta có thể biến đổi thành $2{y^2} – 7y + 5 = 0$. Từ đó, ta tìm được hai nghiệm là ${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$. Tiếp tục giải các phương trình bậc hai đối với $x$ với ${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$, ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4

Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 16{x^2} + 3x + 2 = 0$.

Giải: Phương trình này là phương trình bậc bốn và là phương trình hồi quy khi $frac{e}{a} = {left( frac{d}{b} right)^2}$. Chia hai vế của phương trình cho ${x^2}$, ta có $2{x^2} + 3x – 16 + frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}} = 0$. Tiếp tục chuyển đổi, ta có ${x^2} + {y^2} + left( frac{a}{2} + frac{a^3}{8} – frac{ab}{2} + c right)x + left( b – frac{a^2}{4} – 1 right)y + d = 0$. Dựa vào các công thức, ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho là ${x_{1,2}} = -2 pm sqrt 3$, ${x_3} = frac{1}{2}$ và ${x_4} = 2$.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 5

Giải phương trình ${x^4} + 4{x^3} – 10{x^2} + 37x – 14 = 0$.

Giải: Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x^2} + rx + s$, trong đó $p$, $q$, $r$, $s$ là các hệ số chưa xác định. Qua phân tích, ta có hệ phương trình sau:
$$
begin{cases}
p + r = -4
s + q + pr = -10
ps + qr = 37
qs = -14
end{cases}
$$
Từ phương trình cuối cùng của hệ này, ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy được của $q$ và $s$. Sau khi thử lần lượt các giá trị của $q$, ta tìm được rằng $q = 2$ và $s = -7$ là những giá trị thích hợp. Thay các giá trị này vào hệ phương trình ban đầu, ta suy ra được $p = -5$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ${x{1,2}} = -2 pm sqrt {17}/2$ và ${x{3,4}} = -1 pm sqrt {29}/2$.

Ví dụ 6

Giải phương trình ${x^4} – {x^3} – 7{x^2} + x + 6 = 0$.

Giải: Dựa vào công thức phân tích đa thức thành nhân tử, ta tìm được một nghiệm thực của phương trình là $h = 5$. Tiếp tục thay các giá trị đã biết vào công thức, ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là ${x_1} = -1$, ${x_2} = -2$, ${x_3} = 3$ và ${x_4} = 1$.

• Xem thêm: Cách giải phương trình bậc hai chi tiết, đầy đủ nhất

Phương pháp đồ thị

Để giải phương trình bậc bốn ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ bằng phương pháp đồ thị, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt ${x^2} = y – mx$. Phương trình ban đầu trở thành ${y^2} – 2mxy + {m^2}{x^2} + axy – ax{m^2} + b{x^2} + cx + d = 0$.
2. Chọn $m$ sao cho các số hạng có $xy$ bị khử. Điều này tương đương với việc có $ – 2m + a = 0$, tức $m = frac{a}{2}$.
3. Đặt ${x^2} = y – frac{a}{2}x$. Phương trình ban đầu trở thành ${y^2} + left( frac{a}{2} + frac{a^3}{8} – frac{ab}{2} + c right)x + left( b – frac{a^2}{4} – 1 right)y + d = 0$.

Nghiệm của phương trình ban đầu là các hoành độ của các điểm giao điểm của hai đồ thị: parabol $y = frac{1}{m}{x^2} + frac{a}{{2m}}x$ và đường tròn đồ thị của phương trình chuyển đổi được.

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/