Bài tập tam giác đồng dạng: Tìm hiểu cách chứng minh và ví dụ

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các trường hợp đồng dạng của tam giác và cách chứng minh chúng. Cùng theo dõi nhé!

I. Lý thuyết tam giác đồng dạng cần ghi nhớ

1. Định lý Ta – lét trong tam giác

Định lý Ta – lét cho biết rằng nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

2. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta – let

a) Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

b) Hệ quả của định lý Ta – let: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

3. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đoạn đó.

4. Tam giác đồng dạng

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

• Các góc: A’ = A; B’ = B; C’ = C;
• Tỉ lệ các cạnh: A’B/AB = B’C’/BC = C’A’/CA
• Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

5. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Trường hợp thứ nhất (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Trường hợp thứ hai (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.

c) Trường hợp thứ ba (g.g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu :

• Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
• Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
• Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

II. Ví dụ về các trường hợp đồng dạng của tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng minh Δ ABH ∼ Δ ACK.

Lời giải:

Xét Δ ABH và Δ ACK có

⇒ Δ ABH ∼ Δ ACK ( g – g )

Ví dụ 2: Cho Δ ABC,Δ A’B’C’ có độ dài các cạnh như hình vẽ. Chứng minh Δ ABC ∼ Δ A’B’C’

Lời giải:

Xét Δ ABC,Δ A’B’C’ có A’B’/AB = A’C’/AC = B’C’/BC = 2/4 = 2,5/5 = 3/6 = 1/2.

⇒ Δ ABC ∼ Δ A’B’C’ ( c – c – c )

III. Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (Â = 900) có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC) .

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE.

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB //CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; và góc DAB = DBC.

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15 cm; AC = 20 cm . Kẻ đường cao AH

a/ Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: AB^2 = BC * BH

b/ Tính BH và CH.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tai A, đư­ờng cao AH ,biết AB = 15 cm, AH = 12cm

a/ Chứng minh: ΔAHB đồng dạng ΔCHA

b/ Tính các đoạn BH, CH, AC

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

a) ΔCBN và ΔCDM cân.

b) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài 6: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE CB = AB EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh: AE AC = AF AB

b) Chứng minh: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) Chứng minh: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d ) Chứng minh: BF BA + CE CA = BC^2

Bài 8: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm

a) Tính độ dài IP, MN

b) Chứng minh rằng: QN ⊥ NP

c) Tính diện tích hình thang MNPQ

d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng : KN^2 = KP * KQ

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh :

d) ΔCBN và ΔCDM cân.

e) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

f) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE CB = AB EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài 11: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh: AE AC = AF AB

b) Chứng minh: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) Chứng minh: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d ) Chứng minh: BF BA + CE CA = BC^2

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.

a) Chứng minh BDM đồng dạng với CME

b) Chứng minh BD.CE không đổi.

c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE

Bài 13 Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm ; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC .

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

c) Vẽ phân giác AD của góc A (D ∈ BC) . Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D .

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm ;

AC 8cm , BC =10cm . Đường cao AH (H ∈ BC);

a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng ,

b) Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D ∈ BC) . Tính độ dài DB và DC;

c) Chứng minh rằng AB^2= BH * HC

d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 3cm ; AC = 4cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

Tính độ dài BC .

Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC

Chứng minh

Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC ). Tính các độ dài DB và DC ?

Bên cạnh các kiến thức về tam giác đồng dạng, tứ giác đồng dạng cũng là một kiến thức rất hay và bổ ích, thường gặp trong các đề thi. Bạn có thể tìm hiểu thêm kiến thức này tại bài viết sau:

Phương pháp chứng minh tứ giác đồng dạng rất đơn giản và dễ nhớ