Cách giải nhanh bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 1 ẩn đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

• Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.
  a) f(x) = x2 – 3x + 2
  b) f(x) = x2 – 4
  c) f(x) = x2(x-2)
  ° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

Bất phương trình quy về bậc hai

Tam thức bậc hai

• Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

• Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.
  a) f(x) = x2 – 3x + 2
  b) f(x) = x2 – 4
  c) f(x) = x2(x-2)
  ° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

• Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

• Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.
• Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = -b/2a.
• Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).

[Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng]

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

• Tìm nghiệm của tam thức
• Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
• Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)

• Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

• Ví dụ: x2 – 2 >0; 2×2 +3x – 5 <0;

Giải bất phương trình bậc 2

• Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Ví dụ: Giải bất phương trình

Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3Dấu của f(x) được cho trong bảng sau

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ là S=(−1;1/3).

Để tìm hiểu chi tiết tất cả các cách giải phương trình bậc 2, bạn có thể tham khảo trong bài viết chúng tôi gợi ý dưới đây nhé:

• Các cách giải phương trình bậc 2 đơn giản và dễ nhớ nhất

3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cần sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

• Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:
  a) 5×2 – 3x + 1
  b) -2×2 + 3x + 5
  c) x2 + 12x + 36

Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):
a) 5×2 – 3x + 1

• Xét tam thức f(x) = 5×2 – 3x + 1
• Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = -11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.
• Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2×2 + 3x + 5

• Xét tam thức f(x) = -2×2 + 3x + 5
• Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.
• Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = -1; x2 = 5/2, hệ số a = -2 < 0
• Ta có bảng xét dấu:
  f(x) > 0 khi x ∈ (-1; 5/2)
• Từ bảng xét dấu ta có:
  f(x) = 0 khi x = -1 ; x = 5/2
  f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

• Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36
• Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.
• Tam thức có nghiệm kép x = -6, hệ số a = 1 > 0.
• Ta có bảng xét dấu:
• Từ bảng xét dấu ta có:
  f(x) > 0 với ∀x ≠ -6
  f(x) = 0 khi x = -6

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/