Cách tìm tâm và bán kính đường tròn cực hay, chi tiết

Đường tròn, một chủ đề quan trọng trong môn Toán lớp 10, không chỉ có dạng bài về viết phương trình đường tròn, mà còn có các dạng bài khác liên quan đến cách tìm tâm và bán kính của đường tròn. Để giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết cách tìm tâm và bán kính đường tròn trong bài viết sau đây.

1. Nhắc lại về phương trình đường tròn

• Phương trình đường tròn có tâm I(xo, yo) và bán kính R được biểu diễn bởi công thức: (C): (x – xo)² + (y – yo)² = R².
• Ví dụ: (x – 2)² + (y + 1)² = 16 là phương trình của đường tròn có tâm I(2, -1) và bán kính R = 4.

2. Các dạng bài tập tìm tâm và bán kính đường tròn

2.1. Tìm tâm và bán kính đường tròn bằng cách đưa về phương trình tổng quát

• Phương pháp:
  • Nhóm hạng tử thích hợp.
  • Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa về dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².
• Ví dụ: Biết đường tròn (C) có phương trình: x² + y² – 6x + 4y – 30 = 0. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
  • Giải:
    • Ta có: x² + y² – 6x + 4y – 3 = 0.
    • (x² – 6x + 9) + (y² + 4y + 4) – 9 – 4 – 3 = 0.
    • (x – 3)² + (y + 2)² = 16.
  • Vậy, đường tròn (C) có tâm I(3, -2) và bán kính R = 4.

2.2. Tìm tâm và bán kính đường tròn khi biết tọa độ hai điểm tạo nên đường kính

• Phương pháp:
  • Cho biết tọa độ hai điểm A, B tạo nên đường kính.
  • Tâm I của đường tròn có tọa độ (xo, yo).
  • Bán kính của đường tròn là R = IA.
• Ví dụ: Cho hai điểm A(3, 4) và B(1, -2). Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) biết AB là đường kính.
  • Giải:
    • Gọi I(xI, yI) là tâm của đường tròn (C). Khi đó:
    • Ta có: xI = (3 + 1) / 2 = 2 và yI = (4 – 2) / 2 = 1.
    • AB = √((1 – 3)² + (-2 – 4)²) = √((-2)² + (-6)²) = √40.
    • Vì đường tròn (C) có AB là đường kính, nên bán kính của đường tròn (C) là: R = AB / 2 = √40 / 2 = √10.
  • Vậy, đường tròn (C) có tâm I(2, 1) và bán kính R = √10.

2.3. Tìm tâm và bán kính đường tròn khi biết tọa độ ba điểm mà đường tròn đi qua

• Phương pháp:
  • Cho tọa độ A, B, C là ba điểm mà đường tròn đi qua.
  • Gọi I(x, y) là tâm và R là bán kính của đường tròn.
  • Ta có: IA = IB và IB = IC, từ đó suy ra IA² = IB² và IB² = IC². Giải hệ phương trình để tìm x và y.
  • Bán kính của đường tròn là R = IA.
• Ví dụ: Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) biết đường tròn (C) đi qua ba điểm M(1, 1), N(0, -1), P(3, 0).
  • Giải:
    • Gọi I(x, y) và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).
    • Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm M, N, P, nên ta có: MI = NI = PI.
    • Với MI = NI, ta có: (x – 1)² + (y – 1)² = x² + (y + 1)².
    • x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 = x² + y² + 2y + 1.
    • 2x + 4y = 1 (1).
    • Với NI = PI, ta có: x² + (y + 1)² = (x – 3)² + y².
    • x² + y² + 2y + 1 = x² – 6x + 9 + y².
    • 6x + 2y = 8.
    • 3x + y = 4 (2).
    • Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
    • …
    • Vậy, I(1, 1).
    • Bán kính của đường tròn (C) là: R = NI = √10.

2.4. Tìm tâm và bán kính đường tròn liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn

• Phương pháp:
  • Cần vận dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
  • Khoảng cách từ điểm M(xo, yo) đến đường thẳng d’: ax + by + c = 0 là: d(M, d’) = |axo + byo + c| / √(a² + b²).
• Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) biết tâm của đường tròn là giao điểm của hai đường thẳng d1: x – 3y + 3 = 0 và d2: 2x + 3y – 3 = 0, và tiếp tuyến của đường tròn (C) là: x + y + 1 = 0.
  • Giải:
    • Gọi I(x, y) là tâm và R là bán kính của đường tròn.
    • Vì tâm của đường tròn (C) là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2, nên tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ phương trình:
    • …
    • Bán kính của đường tròn (C) là: R = d(I, d’) = |x + y + 1| / √2.
  • Vậy, đường tròn (C) có tâm I(0, 1) và bán kính R = |x + y + 1| / √2.

3. Bài tập tìm tâm và bán kính đường tròn

Bài 1: Đường tròn (C): (x – 4)² + (y + 1)² = 9 có:

• Tâm I(4, 1) và bán kính R = 9.
• Tâm I(-4, 1) và bán kính R = 9.
• Tâm I(4, -1) và bán kính R = 3.
• Tâm I(-4, 1) và bán kính R = 3.
  Đáp án: Chọn câu C.

Bài 2: Đường tròn (C) có tâm I(2, -1) và tiếp tuyến là d’: x + y – 2 = 0. Lúc này, bán kính của đường tròn là:

• R = 2.
• R = 2.
• R = √5.
• A, B, C đều sai.
  Đáp án: Bán kính của đường tròn là: R = d(I, d’) = √5.
  Chọn câu D

Bài 3: Đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 2x + 6y = 0 có tâm là:

• I(1, 3).
• I(-1, -3).
• I(1, -3).
• I(-1, 3).
  Đáp án: Ta có: x² + y² + 2x + 6y = 0. (x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) – 1 – 9 = 0. (x + 1)² + (y + 3)² = 10.
  Chọn câu B

Bài 4: Biết AB là đường kính của đường tròn (C) với các tọa độ A(1, 2) và B(-3, 0). Lúc này, tâm và bán kính của đường tròn là:

• Tâm I(1, -1) và bán kính R = 2.
• Tâm I(1, -1) và bán kính R = √10.
• Tâm I(-1, 1) và bán kính R = √10.
• Tâm I(-1, 1) và bán kính R = 2.
  Đáp án: Gọi I(x, y) và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn. Tọa độ tâm I của đường tròn là: x = (1 – 3) / 2 = -1, y = (2 + 0) / 2 = 1. Bán kính của đường tròn là: R = IB = √((-3 – 1)² + (0 – 2)²) / 2 = √20 / 2 = √10 / 2.
  Chọn câu C

Bài 5: Đường tròn đi qua ba điểm M(0, 2), N(1, 1), P(1, 0) có tâm I(x, y). Trong đó:

• x + y = 0.
• x + y = 1.
• x + y = 2.
• A, B, C đều sai.
  Đáp án: Gọi I(x, y) là tâm của đường tròn. Để tìm tâm của đường tròn, ta giải hệ: …
  Chọn câu A

Mong rằng thông qua bài viết này, các bạn sẽ có thể áp dụng vào việc giải quyết các dạng bài tập cách tìm tâm và bán kính đường tròn. Đồng thời, hãy ôn tập và củng cố kiến thức để sẵn sàng cho những nội dung bài học tiếp theo.

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/