Toán học

Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức

05/01/2024

Trong các bài tính tích phân bất định hoặc tính tích phân của hàm phức bằng lý thuyết thặng dư, chúng ta thường gặp các dạng phân thức hữu tỷ khó tính. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần chuyển chúng về dạng phân thức hữu tỷ thật sự, có bậc tử bé hơn bậc mẫu và mẫu số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm.

Phương pháp chung trong trường hợp này là sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Tuy nhiên, phương pháp này tốn nhiều thời gian và công sức.

Với phân thức $frac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}$ , chúng ta cần phân tích thành:

$frac{A}{x-x_1}}+frac{B}{x-x_2}+frac{C}{x-x_3}$

Sau đó, ta quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai vế để xác định các hệ số A, B, C. Tuy nhiên, phương pháp này tốn thời gian và công sức.

Trong bài viết này, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn một mẹo phân tích nhanh các hệ số mà không cần phải trải qua bước quy đồng mẫu số.

Thực tế, giả sử:

$frac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}} = frac{A}{x-x_1}+frac{B}{x-x_2}+frac{C}{x-x_3}$

Để xác định hệ số A, ta chỉ cần che biểu thức x-x_1 ở vế trái. Lúc này, ta sẽ có:

$frac{P(x)}{(x-x_2)(x-x_3)}} (*)$

Sau đó, thế x=x_1 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số A:

$A = frac{P(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}$

Tương tự, để xác định hệ số B, ta chỉ cần che biểu thức x-x_2 ở vế trái. Lúc này, ta sẽ có:

$frac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_3)}} (*)$

Sau đó, thế x=x_2 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số B:

$B = frac{P(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}$

Tương tự, ta có:

$C = frac{P(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}$

Ví dụ, với phân thức $frac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}$ , ta thực hiện che thừa số x ở mẫu số và thế x = 0 vào phân thức:

$A = frac{1}{2}$

Tương tự, ta che thừa số x – 1 ở mẫu số và thế x = 1 vào phân thức:

B = -3

Và che thừa số x-2 ở mẫu số và thế x = 2 vào phân thức:

$C = frac{5}{2}$

Như vậy, chúng ta có:

$frac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}= frac{1}{2x}-frac{3}{x-1}+frac{5}{2(x-2)}}$

Bằng cách này, việc phân tích phân thức hữu tỷ trở nên dễ dàng hơn và chúng ta đã khám phá mẹo để tính toán nhanh “chóng mặt” của thầy cô giáo. Chúng ta đã khám phá được bí kíp này và không còn phải lo lắng về các phân thức phức tạp nữa!

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/