Cách giải hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn

Để biết cách giải hệ phương trình 4 ẩn, định lý Kronecker-Capelli luôn là một công cụ hữu ích để hình dung và giải quyết vấn đề.

Hệ phương trình tuyến tính

Giả sử ta có hai loại hệ phương trình tuyến tính: hệ phương trình không thuần nhất và hệ phương trình thuần nhất. Hệ phương trình này bao gồm $m$ phương trình với $n$ ẩn:

Ax = B      (1)
Ax = 0      (2)

Ở đây, $A$ là một ma trận có chiều $m times n$, $x$ là một vector có chiều $n times 1$ chứa $n$ ẩn, và $B$ là một vector có chiều $m times 1$.

Nếu phương trình (1) có một nghiệm riêng $x_0$ thỏa mãn hệ (1), thì tất cả các nghiệm khác của nó có thể được biểu diễn dưới dạng:

L_0 = {x_0 + x | x là nghiệm của (2)}

Vậy câu hỏi đặt ra là khi nào phương trình (1) có một nghiệm riêng $x_0$? Đây chính là nội dung của định lý Kronecker-Capelli:

(1) có nghiệm riêng khi và chỉ khi ma trận A có hạng (rank) bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng à (ma trận A bổ sung thêm cột thứ n+1 là B)

Cuối cùng, nếu ta đặt không gian nghiệm của (2) là $L$, ta có:

rank L = dim Ker A = n - rank A

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn

Trong bài toán trên, câu 1 là một bài toán dễ dàng, ta đặt ma trận hệ số là $A$:

A = [1 -2 1 2; 1 1 -1 1; 1 -7 -5 -1]

Vector $x$ chứa các biến $x_1, x_2, x_3, x_4$, và $B$ là vector [m; 2m+1; -m]. Nhận thấy rằng rank của $A$ và ma trận hệ số mở rộng đều bằng 3, vì chúng chỉ có 3 hàng và 3 hàng này độc lập tuyến tính. Vì vậy, phương trình này có một nghiệm riêng và phương trình thuần nhất liên kết với nó có 4 ẩn và 3 phương trình, do đó có vô số nghiệm.

Cách khác, ta có thể sử dụng phương pháp Gauss để giải ra các giá trị của $x_i$ một cách chính xác.

Trong câu 2, ta cũng sử dụng cách đặt giống như câu 1. Ta thực hiện một số phép biến đổi và tính toán:

rank A = rank [1 2 -3 4; 2 4 -7 9; 5 10 -17 23; 3 6 -10 m] = rank [1 2 -3 4; 0 0 -1 1; 0 0 -2 3; 0 0 -1 m-12] = rank [1 0 0 0; 0 0 -1 1; 0 0 -2 3; 0 0 -1 m-12] = 3 (cho mọi m)

Xét ma trận hệ số mở rộng:

rank [1 2 -3 4 1; 2 4 -7 9 2; 5 10 -17 23 1; 3 6 -10 m 13-m] = rank [1 2 -3 4 1; 0 0 -1 1 0; 0 0 -2 3 -4; 0 0 -1 m-12 10-m]

Tính toán cho thấy rank của ma trận này là 4 khi $m=13$ và là 3 trong các trường hợp còn lại. Nếu $m=13$, hệ phương trình ban đầu sẽ không có nghiệm. Nếu $m neq 13$, phương trình có nghiệm riêng và phương trình thuần nhất liên quan có 4 ẩn, vì rank của ma trận là 3, vì vậy nó có vô số nghiệm.

Sẵn lòng chia sẻ những bí mật thú vị nhất với bạn! Kienthuconline24h.com