Tổng hợp #5 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp dễ hiểu nhất

Bạn đã bao giờ gặp phải bài toán cách chứng minh 1 tứ giác nội tiếp chưa? Đó là những bài tập thực sự thách thức cho các bạn học sinh từ trung bình đến giỏi. Để giúp các bạn tự tin và nắm vững kiến thức về tứ giác nội tiếp, hôm nay, mình sẽ chia sẻ cho các bạn toàn bộ những điều cần biết về chủ đề này.

Tứ giác nội tiếp là gì?

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp. Trong trường hợp này, đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên.

Định lý của tứ giác nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. Ngược lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

• Tứ giác có tổng số đo của hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối của nó thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
• Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm mà ta có thể xác định được, điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, hai đỉnh này cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Cách chứng minh 1 tứ giác nội tiếp

Phương pháp 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm

Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đường tròn (C) tại D (D khác B).

Chứng minh rằng: Tứ giác AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp 2: Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau (tổng hai góc đối diện bằng 180⁰)

Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O, R) cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại E và F.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACBD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tam giác ACD và tam giác CBE đồng dạng.

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp được đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp 3: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau

Ví dụ: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC)

a) Chứng minh tứ giác AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Kẻ MP vuông góc BC (P thuộc BC). Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Phương pháp 4: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Phương pháp 5: Chứng minh qua góc ngoài của tứ giác

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.