Phương trình – Tổng hợp các kiến thức hay nhất

Bài viết hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các kiến thức cơ bản liên quan đến các loại phương trình toán học. Đây là một phần lý thuyết quan trọng trong chương trình Toán học ở trường THCS. Hãy cùng nhau khám phá những điều thú vị ngay thôi nào!

Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình

Phương trình một ẩn

Phương trình với ẩn x là một hệ thức có dạng A(x) = B(x), trong đó, biểu thức A(x) gọi là vế trái và biểu thức B(x) gọi là vế phải. Nghiệm (hoặc nghiệm chính xác) của phương trình là giá trị của x thỏa mãn phương trình.

Chú ý:

• Phương trình x = m (với m là một số bất kỳ) cũng là một phương trình và đã xác định m là nghiệm duy nhất của nó.
• Một phương trình có thể có số nghiệm là một, hai, ba,… và cũng có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1:

• 3x + 2 = 2x là một phương trình với ẩn x.
• 2y – 1 = 4(1 – y) + 3 là một phương trình với ẩn y.

Ví dụ 2:

• Phương trình x^2 = 1 có hai nghiệm lần lượt là x = 1 và x = -1.
• Phương trình x^2 = -1 không có nghiệm.

Giải phương trình

Giải phương trình là quá trình tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình. Tập hợp các nghiệm của phương trình được ký hiệu là S.

Ví dụ 3:

• Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S = {3}.
• Phương trình không có nghiệm có tập nghiệm là S = {}.

Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Kí hiệu “⇔” đọc là “tương đương”.

Ví dụ 4:

• Phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3.
• Phương trình x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa:
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1:

• Phương trình 2x – 3 = 0 là một phương trình bậc nhất với ẩn x.
• Phương trình y – 4 = 2 là một phương trình bậc nhất với ẩn y.

Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của hạng tử đó.

Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3 = 0
Lời giải:
Ta có: x + 3 = 0
Chuyển hạng tử +3 từ vế trái sang vế phải ta được:
⇔ x = -3.

Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0.

Ví dụ 3: Giải phương trình x/2 = -2
Lời giải:
Ta có: x/2 = -2
Nhân cả hai vế của phương trình trên với số 2 ta được:
⇔2.x/2 = -2.2
⇔ x = -4.

Phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

1. Chuyển vế ax = -b.
2. Chia cả hai vế của phương trình cho a, ta được: x = -b/a.
3. Kết luận tập nghiệm của phương trình: S = {-b/a}.

Có thể trình bày một cách ngắn gọn như sau:
ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -b/a.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-b/a}.

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây:
a) 2x – 3 = 3
b) x – 7 = 4
Lời giải:
a) 2x – 3 = 3
Ta có: 2x – 3 = 3 ⇔ 2x = 3 + 3 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {3}.

b) x – 7 = 4
Ta có: x – 7 = 4 ⇔ x = 4 + 7 ⇔ x = 11
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {11}.

Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 là gì?

Để giải các phương trình được đưa về dạng ax + b = 0, ta thường biến đổi phương trình như sau:

1. Quy đồng mẫu số cả hai vế và tiến hành khử mẫu (nếu có).
2. Thực hiện các phép tính toán để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.
3. Tìm x.

Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình đã cho về dạng ax = c có thể dẫn đến một trường hợp đặc biệt đó chính là hệ số của ẩn bằng 0 nếu:

• 0x = c thì phương trình không có nghiệm. Khi đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {}.
• 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm S = R hay nghiệm đúng với mọi x.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – (3 – 2x) = 3x + 1
Lời giải:
Ta có: 2x – (3 – 2x) = 3x + 1
⇔ 2x – 3 + 2x = 3x + 1
⇔ 4x – 3x = 1 + 3
⇔ x = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {4}.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0
Lời giải:
Ta có: (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0
⇔ (x – 2)(1/3 – 1/4 + 1/5) = 0
⇔ (x – 2).17/60 = 0
⇔ x – 2 = 0
⇔ x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {2}.

Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng A(x) B(x) = 0. Cách giải của loại phương trình này như sau:
A(x) B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Các bước giải cụ thể:

1. Đưa phương trình ban đầu về dạng tổng quát A(x) * B(x) = 0 bằng cách:

• Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình sang vế trái. Khi đó, vế phải bằng 0.
• Phân tích đa thức ở vế phải thành dạng nhân tử.

2. Giải phương trình và đưa ra kết luận.

Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Lời giải:
Ta có: (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
⇔ x^2 + 5x + 4 = 4 – x^2
⇔ 2x^2 + 5x = 0
⇔ x(2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -5/2
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S = {-5/2; 0}.

Ví dụ 2: Giải phương trình x^3 – x^2 = 1 – x
Lời giải:
Ta có: x^3 – x^2 = 1 – x
⇔ x^2(x – 1) = -(x – 1)
⇔ x^2(x – 1) + (x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x^2 + 1) = 0
⇔ x – 1 = 0 (1) hoặc x^2 + 1 = 0 (2)
(1) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
(2) x^2 + 1 = 0 (phương trình này vô nghiệm vì x^2 + 1 ≥ 1)
Vậy phương trình ban đầu có tập hợp nghiệm là S = {1}.

Thông qua bài viết này, chúng ta đã được tìm hiểu về các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình. Hy vọng các bạn hiểu sâu và nắm chắc những kiến thức này để áp dụng vào việc giải các bài tập liên quan. Chúc các bạn học tốt và đón chờ những bài viết mới, đầy thú vị trên kienthuconline24h.com!