Hướng dẫn giải một số dạng bài tập về phép toán logarit

Bài viết này sẽ trình bày định nghĩa, tính chất và phương pháp giải một số dạng bài tập thường gặp về các dạng toán logarit trong chương trình Giải tích 12.

TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

1. Định nghĩa

Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Số alpha là logarit theo cơ số a của số b nếu a^alpha = b. Kí hiệu: log_a(b) = alpha. Vậy log_a(b) = alpha ⇔ a^alpha = b.

Nếu a = 10 thì log_10(x) gọi là logarit thập phân, ký hiệu là log(x) (hoặc lg(x)). Nếu a = e thì log_e(x) gọi là logarit tự nhiên (hay logarit nê-pe), ký hiệu là ln(x).

2. Tính chất

2.1. So sánh hai logarit cùng cơ số

• Khi a > 1: log_a(b) > log_a(c) ⇔ b > c.
• Khi 0 < a < 1: log_a(b) > log_a(c) ⇔ b < c.
• Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0:
  • log_a(b) > 0 ⇔ a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.
  • log_a(b) < 0 ⇔ a < 1 < b hoặc b < 1 < a.

2.2. Các quy tắc tính logarit

Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0:

• log_a(b.c) = log_a(b) + log_a(c).
• log_a(b/c) = log_a(b) – log_a(c). Đặc biệt log_a(1/b) = -log_a(b).
• log_a(b^alpha) = alpha.log_a(b). Đặc biệt log_a(sqrtn) = (1/n)log_a(b) (n là số tự nhiên dương).
• Đổi cơ số của logarit:
  • log_b(c) = log_a(c) / log_a(b).
  • log_a(b) = 1 / log_b(a).
  • log_(a^n)(c^m) = (m/n)log_a(c).

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Tính toán logarit

1. PHƯƠNG PHÁP:
   • Định nghĩa logarit: Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Ta có: alpha = log_a(b) ⇔ a^alpha = b.
   • Các tính chất của logarit:
     • log_a(1) = 0, log_a(a) = 1.
     • log_a(a^b) = b.
     • a^(log_a(b)) = b.
     • log_a(b.c) = log_a(b) + log_a(c).
     • log_a(b/c) = log_a(b) – log_a(c).
     • log_a(b^alpha) = alpha.log_a(b).
2. CÁC VÍ DỤ:

• Ví dụ 1: Tính các giá trị sau:
  • A = log_(1/7)(32) / (log_7(15) – log_7(30)).
  • B = log_5(sqrt(3)) – (1/2)log_5(12) + log_5(250).

$A = frac{log_{frac{1}{7}}{32}}{log_7{15} – log_7{30}} = frac{-log_7{32}}{log_7{frac{15}{30}}} = frac{-log_7{2^5}}{-log_7{2}} = frac{5log_72}{log_72} = 5.$

$B = log_5{sqrt{3}} – frac{1}{2}log_5{12} + log_5{250} = frac{1}{2}log_53 – frac{1}{2}log_512 + log_5250 = frac{1}{2}log_5{frac{3}{12}} + log_5250 = frac{1}{2}log_52 – log_55 + log_5250 = -log_52 + log_5250 = log_5{frac{250}{2}} = log_5125 = 3.$

Vấn đề 2: So sánh hai logarit

1. PHƯƠNG PHÁP:
   • Để so sánh hai logarit ta áp dụng các kết quả sau:
     • Nếu a > 1: log_a(M) > log_a(N) ⇔ M > N > 0.
     • Nếu 0 < a < 1: log_a(M) > log_a(N) ⇔ 0 < M < N.
     • Nếu 0 < a < b < 1 hoặc 1 < a < b: log_a(x) > log_b(x) ⇔ x > 1.
     • log_a(b) > 0 ⇔ a > b và a,b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.
2. CÁC VÍ DỤ:

• Ví dụ 1: Hãy so sánh hai số sau:
  • a) m = log(sqrt(3))(3/5) và n = log(sqrt(3))(7/9).
  • b) m = log(sqrt(2) – 1)(15) và n = log(sqrt(2) – 1)(2).

  a) Ta có: a = sqrt(3) > 1 và (3/5) < (7/9) nên log(sqrt(3))(3/5) < log(sqrt(3))(7/9). Vậy m < n.

  b) Ta có: a = sqrt(2) – 1 < 1 và 15 > 2 nên log(sqrt(2) – 1)(15) < log(sqrt(2) – 1)(2). Vậy m < n.

Vấn đề 3: Biểu diễn một logarit theo các logarit khác

1. PHƯƠNG PHÁP:
   • Để biểu diễn log_a(b) theo log_c(d) ta đưa log_a(b) về logarit theo cơ số c và viết a và b thành tích hay thương của các lũy thừa theo cơ số c và d. Áp dụng tính chất logarit của tích và của thương ta suy ra kết quả.
2. CÁC VÍ DỤ:

• Ví dụ 1: Cho alpha = log_2(3) và beta = log_2(5). Hãy tính log_225(2700).

  Ta có: log_225(2700) = log_2(2700) / log_2(225)
  = log_2(2^2.3^3.5^2) / log_2(3^2.5^2)
  = (2log_23 + 3log_25 + 2log_25) / (2log_23 + 2log_25)
  = (2 + 3alpha + 2beta) / (2alpha + 2beta).

Vấn đề 4: Tìm giá trị của x thỏa mãn hệ thức logarit

1. PHƯƠNG PHÁP:
   • Sử dụng các công thức biến đổi logarit đưa hệ thức đã cho về dạng: log_a(f(x)) = log_a(g(x)). Từ đó ta có: f(x) = g(x). Giải hệ ta tìm được x.
2. CÁC VÍ DỤ:

• Ví dụ: Tìm x biết log_3(x^2 – 1) + log_9(x^2 – 1) = 3/2.

  log_3(x^2 – 1) + log_9(x^2 – 1) = 3/2
  => log_3(x^2 – 1) + (1/2)log_3(x^2 – 1) = 3/2
  => log_3(x^2 – 1) = 1
  => x^2 – 1 = 3
  => x^2 = 4
  => x = ±2.

Vấn đề 5: Chứng minh đẳng thức chứa logarit

1. PHƯƠNG PHÁP:
   • Áp dụng các công thức biến đổi logarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
2. VÍ DỤ:

• Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số dương và c ≠ 1. Chứng minh rằng: a^(log_c(b)) = b^(log_c(a)).

  Áp dụng công thức a^(log_a(b)) = b, ta có: a^(log_c(b)) = (b^(log_b(a)))^(log_c(b))
  = b^(log_c(b).log_b(a)) = b^(log_c(a)).
  Vậy đẳng thức được chứng minh.

• Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số dương và khác 1. Chứng minh rằng: (loga(c))/(log(ab)(c)) = 1 + log_a(b).

  Ta có: Vế trái = log_c(ab).log_a(c) = (log_c(a) + log_c(b)).log_a(c)
  = log_a(c).log_c(a) + log_a(c).log_c(b) = 1 + log_a(b)
  = Vế phải. Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/