Các Dạng Lim Vô Định

Trong toán học, có những dạng lim vô định mà chúng ta thường gặp và muốn tính toán giới hạn của chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng lim vô định phổ biến và cách giải quyết chúng.

Dạng Vô Định (dfrac{0}{0})

Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to {x0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits{x to {x0}} fleft( x right) = mathop {lim }limits{x to {x_0}} gleft( x right) = 0), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp:

• Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.
• Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
• Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu (fleft( x right)) và (gleft( x right)) có chứa căn thức, chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.

Ví dụ: mathop {lim }limits{x to 2} dfrac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}} = mathop {lim }limits{x to 2} dfrac{{x – 2}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{1}{{x – 1}} = dfrac{1}{{2 – 1}} = 1

Dạng Vô Định (dfrac{infty }{infty })

Bài toán: Tính (mathop {lim }limits{x to pm infty } dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits{x to pm infty } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = pm infty ), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức.

Phương pháp:

• Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
• Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của (x).
• Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.

Ví dụ: (mathop {lim }limits{x to – infty } dfrac{{sqrt {{x^2} – 1} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits{x to – infty } dfrac{{sqrt {{x^2}left( {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} right)} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits{x to – infty } dfrac{{left| x right|sqrt {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits{x to – infty } dfrac{{ – xsqrt {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} = – dfrac{1}{2})

Dạng Vô Định (0.infty )

Bài toán: Tính giới hạn (mathop {lim }limits_{x to {x0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits{x to {x0}} fleft( x right) = 0) và (mathop {lim }limits{x to {x_0}} gleft( x right) = pm infty ).

Phương pháp:

• Bước 1: Biến đổi (mathop {lim }limits_{x to {x0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) = (mathop {lim }limits{x to {x0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{dfrac{1}{{gleft( x right)}}}}) để đưa về dạng (dfrac{0}{0}) hoặc (mathop {lim }limits{x to {x0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) = (mathop {lim }limits{x to {x_0}} dfrac{{gleft( x right)}}{{dfrac{1}{{fleft( x right)}}}}) để đưa về dạng (dfrac{infty }{infty }).
• Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

Dạng Vô Định (infty – infty )

Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to {x0}} left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits{x to {x0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits{x to {x0}} gleft( x right) = + infty ) hoặc tính (mathop {lim }limits{x to {x0}} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits{x to {x0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits{x to {x_0}} gleft( x right) = – infty ).

Phương pháp:

• Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.
• Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.

Hy vọng rằng những thông tin về các dạng vô định trên sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn và có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng. Bạn có thể tìm hiểu thêm về các chủ đề khác tại Kienthuconline24h.