Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm đầy đủ nhất

Trong chương trình toán 12, nguyên hàm là một phần kiến thức quan trọng, đặc biệt khi học về hàm số. Các bài tập về nguyên hàm xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT QG gần đây. Tuy nhiên, kiến thức về nguyên hàm khá lớn và thách thức đối với các bạn học sinh lớp 12. Cùng chúng mình khám phá và nắm vững các công thức đạo hàm và nguyên hàm để giải các bài tập liên quan nhé!

1. Lý thuyết nguyên hàm

1.1. Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Trong chương trình Toán giải tích 12 đã học, nguyên hàm được định nghĩa như sau:

Một nguyên hàm của một hàm số thực f là một F có đạo hàm bằng f, tức là $F’=f$.

Cho hàm số f xác định trên K. Nguyên hàm của hàm số f trên K tồn tại khi $F(x)$ tồn tại trên K và $F’(x)=f(x)$ (với x thuộc K).

Ví dụ minh họa:
Hàm số $f(x)=cosx$ có nguyên hàm là $F(x)=sinx$ vì $(sinx)’=cosx$ (hay $F’(x)=f(x)$).

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Xét hai hàm số liên tục g và f trên K:

• $int [f(x)+g(x)]dx=int f(x)dx+int g(x)dx$
• $int kf(x)dx=kint f(x)dx$ (với k là số thực khác 0)

Ví dụ minh họa:
$int sin^{2}xdx=int frac{1-cos2x}{2}dx=frac{1}{2}int dx-frac{1}{2}int cos2xdx=frac{x}{2}-frac{sin2x}{4}+C$

2. Tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm dành cho học sinh lớp 12

2.1. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

• Xem thêm: Tổng hợp các cách tìm hàm ngược đơn giản, dễ nhớ nhất

2.2. Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

2.3. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

3. Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

4. Các phương pháp tính nguyên hàm nhanh nhất và bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Để dễ dàng thuộc các công thức nguyên hàm, các em học sinh cần chăm chỉ giải các bài tập áp dụng phương pháp và công thức nguyên hàm tương ứng. Sau đây, mình sẽ hướng dẫn các em 4 phương pháp tìm nguyên hàm.

4.1. Công thức nguyên hàm từng phần

Để giải các bài tập áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, trước tiên học sinh cần nắm định lý sau:

$int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-int u(x).v'(x)dx$

Với $du=u'(x)dx, dv=v'(x)dx)$

Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm của hàm số $I=int xsinxdx$

Giải:

4.2. Phương pháp tính nguyên hàm hàm số lượng giác

Trong phương pháp này, có một số dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp trong các bài tập và đề thi. Cùng mình điểm qua một số cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác điển hình nhé!

Dạng 1: $I=int frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}$

Phương pháp tính:
Dùng đồng nhất thức:

$I=int frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=frac{sin[(x+a)-(x+b)]}{sin(a-b)}=frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}$

Từ đó suy ra:

$I=frac{1}{sin(a-b)}int [frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-frac{cos(x+a)}{sin(x+a)}]dx$

$I=frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C$

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm sau đây: $I=int frac{dx}{sinxsin(x+frac{pi}{6})}$

Giải:

Dạng 2: $I=int tan(x+a)tan(x+b)dx$

Phương pháp tính:

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm sau đây: $I=int tan(x+frac{pi}{3})cot(x+frac{pi}{6})dx$

Giải:

Dạng 3: $I=int frac{dx}{asin(x)+bcos(x)}$

Phương pháp tính:

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm sau đây: $I=int frac{2dx}{sqrt{3}sinx+cosx}$

Giải:

4.3. Cách tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để giải các bài tập tìm nguyên hàm của hàm số mũ, học sinh cần nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số mũ cơ bản sau đây:

Ví dụ minh họa:

Xét hàm số sau đây: $y=5.7^{x}+x^{2}$

Giải:

Nguyên hàm của hàm số đề bài là:

$F(x)=frac{5}{ln7}7^{x}+frac{x^{3}}{3}+C$

4.4. Phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ (đổi biến số)

Phương pháp đổi biến số có hai dạng dựa trên định lý sau:

• Nếu $int f(x)dx=F(x)+C$ và $u=varphi(x)$ là hàm số có đạo hàm, thì $int f(u)du=F(u)+C$
• Nếu hàm số f(x) liên tục, khi đặt $x=varphi(t)$ với $varphi(t)$ cùng với đạo hàm $varphi'(t)$ là những hàm số liên tục, ta có: $int f(x)dx=int f(varphi(t))varphi'(t)dt$

Từ phương pháp chung, ta có thể phân ra làm hai bài toán về phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ như sau:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm $I=int f(x)dx$

Phương pháp:

• Bước 1: Chọn $x=varphi(t)$, với $varphi(t)$ là hàm số phù hợp
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế: $dx=varphi'(t)dt$
• Bước 3: Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f(varphi(x))varphi'(x)dt=g(t)dt$
• Bước 4: Khi đó $I=int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm của $I=int frac{dx}{sqrt{(1-x^{2})^{3}}}$

Giải:

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm $I=int f(x)dx$

Phương pháp:

• Bước 1: Chọn $t=psi(x)$, với $psi(x)$ là hàm số phù hợp
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế: $dt=psi'(x)dx$
• Bước 3: Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f[psi(x)]psi'(x)dt=g(t)dt$
• Bước 4: Khi đó $I=int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm của $I=int x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx$

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm và nguyên hàm cần nhớ. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ có thể áp dụng công thức để giải các bài tập nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao.

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/