Bỏ túi 4 cách giải bất phương trình mũ cực nhanh cực đỉnh

Muốn giải các bài bất phương trình mũ và logarit nhanh tiết kiệm thời gian làm trắc nghiệm thì trước hết phải nắm được kiến thức tổng quan về bất phương trình mũ. Vì vậy hãy xem ngay bảng dưới đây nhé!

1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ Toán 12

1.1. Quy tắc xét dấu biểu thức và các dạng bất phương trình mũ cơ bản

• Quy tắc xét dấu biểu thức bất phương trình mũ:
  • Bước 1: Đặt điều kiện $q(x) neq 0$
  • Tìm tất cả các nghiệm của $p(x); q(x)$ và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự lớn dần rồi điền vào trục Ox.
  • Bước 2: Cho $x rightarrow +infty$ để xác định dấu của $g(x)$ khi $x rightarrow +infty$
  • Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc “chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu):
    • Qua nghiệm bội lẻ thì $g(x)$ đổi dấu
    • Qua nghiệm bội chẵn thì $g(x)$ không đổi dấu.
• Các dạng bất phương trình mũ đã học

1.2. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản thường có dạng $a^{x} > b; a^{x} < b; a^{x} geqslant b, a^{x} leqslant b$ với $a > 0; a neq 1$

Đối với trường hợp $a^{x} > b$ và $a^{x} geqslant b$, ta có đồ thị minh họa sau:

Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình mũ $a^{x} > b$ và $a^{x} geqslant b$ được thể hiện như sau:

$a^{x} > b$ Tập nghiệm

• $a > 1$
• $0 < a < 1$
• $b leqslant 0$
• $R$
• $R$
• $b > 0$
• $(log_{a}b;+infty)$
• $(-infty; log_{a}b)$

$a^{x} geqslant b$ Tập nghiệm

• $a > 1$
• $0 < a < 1$
• $b leqslant 0$
• $R$
• $R$
• $b > 0$
• $[log_{a}b;+infty)$
• $(-infty; log_{a}b]$

Đối với trường hợp $a^{x} < b$ và $a^{x} leqslant b$

Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} < b$ và $a^{x} leqslant b$

$a^{x} < b$ Tập nghiệm

• $a > 1$
• $0 < a < 1$
• $b leqslant 0$
• $varnothing$
• $varnothing$
• $b > 0$
• $(-infty, log_{a}b)$
• $(a;+infty)$

$a^{x} geqslant b$ Tập nghiệm

• $a > 1$
• $0 < a < 1$
• $b leqslant 0$
• $varnothing$
• $varnothing$
• $b > 0$
• $(-infty, log_{a}b]$
• $[a;+infty)$

1.3. Tổng hợp 4 cách giải bất phương trình mũ

Để giải phương trình và bất phương trình mũ, chúng ta có thể áp dụng 4 phương pháp phổ biến sau:

• Phương pháp đưa về cùng cơ số
• Phương pháp đặt ẩn phụ
• Phương pháp logarit hóa
• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

2. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

2.1. Lý thuyết cần nhớ

Xét bất phương trình mũ $a^{f(x)} > a^{g(x)}$

• Nếu $a>1$ thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (cùng chiều khi $a > 1$)
• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (ngược chiều khi $0 < a < 1$)
• Nếu $a$ chứa ẩn thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow (a-1)[f(x)- g(x)] > 0$ (hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

2.2. Bài tập áp dụng giải bất phương trình mũ

Ví dụ: Giải bất phương trình mũ $2^{x^{2}-5x+6} > 1$

Giải:

BPT $Leftrightarrow 2^{x^{2}-5x+6} > 2^{0}$ $Leftrightarrow x^{2}-5x+6 > 0$

$Leftrightarrow x < 2$ hoặc $x > 3$

3. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

3.1. Lý thuyết cần nhớ

Tùy vào từng dạng mà ta sẽ có những cách giải bất phương trình mũ khác nhau. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

• Dạng 1: $m.a^{2f(x)}+ n.a^{f(x)}+p > 0$
  • Ta đặt: $t=a^{2f(x)} (t>0)$
  • Đưa về dạng phương trình ẩn $t$, ta được phương trình: $m.t^{2}+n.t+p > 0$
  • Tương tự, đối với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+ n.a^{3f(x)}+p > 0$, ta cũng đặt
    $t=a^{f(x)} (t>0)$ rồi đưa về phương trình bậc 3 và giải như bình thường.
• Dạng 2: $m.a^{2f(x)}+n.ab^{f(x)}+p.b^{2f(x)}>0$
  • Đầu tiên, chia 2 vế của bất phương trình cho $b^{2f(x)}$, ta được phương trình:
    $m.a^{2f(x)}+n.ab^{f(x)}+p.b^{2f(x)}>0 Leftrightarrow m(frac{a}{b})^{2f(x)}+ n(frac{a}{b})^{f(x)}$
  • Đặt $t=(frac{a}{b})^{f(x)} (t>0)$ $Rightarrow m.t^{2} Rightarrow +n.t+p>0$
  • Tương tự, với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+ n.(a^{2}.b)^{f(x)}+p(ab^{2})^{f(x)}+ q (b)^{^{3f(x)}}>0$
    Ta cũng chia cả 2 vế của bất phương trình cho $(b)^{^{3f(x)}}$ sau đó đặt $t=(frac{a}{b})^{3} (t>0)$ rồi đưa về phương trình bậc 3: $m.t^{3}+n.t^{2}+p.t+q>0$ và giải như bình thường:
• Dạng 3:$m.a^{2f(x)}+ n.a^{f(x)+g(x)}+ p.a^{2g(x)}>0$
  • Phân tích bất phương trình, ta có: $m.a^{2f(x)}+ n.a^{f(x)+g(x)}+ p.a^{2g(x)}>0 Leftrightarrow Leftrightarrow m.a^{2[^{f(x)-g(x)}]}+ n.a^{2[^{f(x)-g(x)}]}+p>0$
  • Đặt: $t=a^{^{f(x)-g(x)}} (t>0)$ $Rightarrow m.t^{2}+n.t+p>0$

3.2. Bài tập áp dụng

a, $frac{2^{x-1}-2x+1}{2^x-1{^{}}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{frac{2}{2^{x}}-2x+1}{2^x-1{^{}}} leqslant 0$

Đặt $t=2^{x}; t>0$ bất phương trình trở thành:

$frac{frac{2}{2t}-t+1}{t-1{^{}}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{-t^{2}+t+2}{t(t-1)} leqslant 0$

$Leftrightarrow 0 < t < 1$ hoặc $t geqslant 2$ $Leftrightarrow$ $x < 0$ hoặc $x geqslant 1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: $(-infty ;0) cup [1;+infty)$

4. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp Logarit hóa

4.1. Lý thuyết cần nhớ

Xét bất phương trình dạng: $a^{f(x)} > b^{g(x)} (a neq b > 0)$

• Lấy logarit 2 vế với cơ số $a > 1$, ta được bất phương trình: $log{a}a^{f(x)} > log{a}b^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)log_{a}b$
• Lấy logarit 2 vế với cơ số $0 < a <1$, ta được bất phương trình: $log{a}a^{f(x)} > log{a}b^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)log_{a}b$

4.2. Bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $2^{x+2} > 3$

Giải: BPT: $Leftrightarrow log{2}2^{x+2} > log{2}3$ $Leftrightarrow x+2 > log{2}3$ $Leftrightarrow x > log{2}3-2= log{2}$ Vậy tập nghiệm là: $(log{2}frac{3}{4};+infty)$

5. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

5.1. Lý thuyết cần nhớ

Cho hàm số $y=f(t)$ xác định và liên tục trên tập xác định D:

• Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên D và $forall u,v in D $ thì $f(u) > f(v) Leftrightarrow u>v$
• Nếu hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên D và $forall u,v in D$ thì $f(v) > f(u) Leftrightarrow u<v$

5.2. Bài tập áp dụng

a, $3^{sqrt{x+4}}+2^{sqrt{2x+4}} > 13$

Điều kiện: $left{begin{matrix}x+4 geqslant 0 & & 2x+4 geqslant 0 & & end{matrix}right.Leftrightarrow x geqslant -2$

Bất phương trình tương đương: $3^{sqrt{x+4}}+2^{sqrt{2x+4}}>13$

Xét hàm số $f(x)=3^{sqrt{x+4}}+2^{sqrt{2x+4}}-13$ với $x geqslant -2$

Ta có: $f'(x)=frac{1}{2sqrt{x+4}}cdot3^{sqrt{x+4}} ln3+frac{2}{sqrt{x+2}}cdot4^{sqrt{x+2}} ln4 > 0, forall x geqslant -2$

Suy ra: $f(x)$ đồng biến trên $[-2;+infty)$

• Nếu $x > 0$ thì $f(x) > f(0)Leftrightarrow 3^{sqrt{x+4}}+4^{sqrt{x+2}} > 0$ nên $x > 0$ là nghiệm
• Nếu $-2 leqslant x leqslant 0$ thì $f(x) leqslant f(0) Leftrightarrow 3^{sqrt{x+4}}+4^{sqrt{x+2}}leqslant 0$ nên $-2 leq x leq 0$ không có nghiệm

Vậy x > 0 là nghiệm của bất phương trình.

6. Bài tập áp dụng tổng hợp giải bất phương trình mũ

Để luyện tập thành thạo tất cả các phương pháp giải bất phương trình mũ, chúng mình đã biên soạn gửi tặng các em bộ tài liệu luyện tập giải bất phương trình mũ siêu chi tiết và đầy đủ các phương pháp trên. Nhớ tải về để làm thử nhé!

Ngoài ra, thầy Thành Đức Trung có bài giảng cực hay về bất phương trình mũ. Trong đó, thầy có chia sẻ các mẹo làm bài nhanh, cách bấm máy tính giải nhanh các bất phương trình mũ. Các em cùng xem trong clip dưới đây và đừng bỏ qua những kĩ năng cực hữu hiệu của thầy nhé!

Trên đây là 4 cách giải bất phương trình mũ và logarit rất dễ áp dụng, nhanh và chính xác giúp các bạn giải quyết toàn bộ các bài tập về phương trình bất phương trình mũ liên quan. Bạn nhớ lưu lại ngay để nhớ cách áp dụng khi làm gặp các dạng bài tập về bất phương trình mũ trong quá trình học Toán 12 cũng như ôn thi Toán THPT Quốc Gia nhé.