Chi tiết các cách giải bất phương trình mũ và logarit cực dễ hiểu

Trước khi tiến hành giải bất phương trình mũ và logarit chứa tham số trong chương trình Toán 12, chúng ta cùng nhau điểm qua những kiến thức tổng quan về bất phương trình mũ và logarit. Đây là những phương pháp giải phổ biến và nhanh nhất dành cho các bạn, hãy tìm hiểu ngay nhé!

Các cách giải bất phương trình mũ

1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đối với bất phương trình dạng $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, ta có các bước sau:

• Nếu $a>1$ thì $log{a}f(x) > log{a}g(x) Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (cùng chiều khi $a>1$)
• Nếu $0<a<1$ thì $log{a}f(x) > log{a}g(x) Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (ngược chiều khi $0<a<1$)
• Nếu $a$ chứa ẩn thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow (a-1)[f(x)-g(x)] > 0$ (hoặc xét 2 trường hợp của cơ số)

Ví dụ minh hoạ: Giải bất phương trình $5^{x^{2}+x} leq 25^{x+1}$, ta có:
$5^{x^{2}+x} leq 25^{x+1} Leftrightarrow x^{2}+x leq 2x+2 Leftrightarrow x^{2}-x-2 leq 0 Leftrightarrow -1 leq x leq 2$

1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với bất phương trình dạng $m.a^{2f(x)}+ n.a^{2f(x)}+ p > 0$, ta có các bước sau:

Dạng 1: $m.a^{2f(x)}+ n.a^{2f(x)}+ p > 0$

• Bước 1: Ta đặt: $t=a^{f(x)} (t > 0)$
• Bước 2: Đưa về dạng phương trình ẩn $t$, ta được phương trình: $m.t^{2}+n.t+p > 0$
• Bước 3: Tương tự, đối với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+n.a^{2f(x)}+pa^{f(x)}+q>0$, ta cũng đặt $t= a^{f(x)} (t>0)$ rồi đưa về phương trình bậc 3 và giải như bình thường.

Ví dụ minh hoạ:

Dạng 2: $m.a^{2f(x)}+n(ab)^{f(x)}+p.b^{2f(x)} > 0$

• Bước 1: Chia 2 vế của bất phương trình cho $b^{2f(x)}$ ta được phương trình: $m.a^{2f(x)}+n(ab)^{f(x)}+pb^{2f(x)} > 0 Leftrightarrow m left(frac{a}{b}right)^{2f(x)}+n left(frac{a}{b}right)^{f(x)}+p > 0$
• Bước 2: Đặt $t= left(frac{a}{b}right)^{2f(x)} (t>0) Leftrightarrow m.t^{2}+n.t+p > 0$
• Bước 3: Tương tự, với bất phương trình $m.a^{3f(x)}+n(a^{2}b)^{f(x)}+p (ab)^{f(x)}+ (ab^{2})^{f(x)}+q.b^{3f(x)} > 0$. Ta cũng chia cả 2 vế của bất phương trình cho $b^{3f(x)}$, sau đó đặt $t= left(frac{a}{b}right)^{f(x)} (t > 0)$ rồi đưa về phương trình bậc $3m.t^{2}+n.t^{2}+pt+q > 0$ và áp dụng cách giải bất phương trình mũ như bình thường.

1.3. Phương pháp logarit hóa

Đối với bất phương trình dạng $a^{f(x)}> b^{g(x)} (a neq 1, b > 0)$, các bước giải như sau:

• Lấy logarit 2 vế với cơ số $a > 1$, ta được bất phương trình: $log{a}a^{f(x)}> log{a}b^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)log_{a}b$
• Lấy logarit 2 vế với cơ số $0 < a < 1$, ta được bất phương trình: $log{a}a^{f(x)}<log{a}b^{g(x)} Leftrightarrow f(x) < g(x)log_{a}b$

Ví dụ minh hoạ:

1.4. Phương pháp xét hàm số

Đối với bất phương trình logarit dạng $log{a}f(x)> log{a}g(x) (a>0, aneq 1)$, ta có các bước giải như sau:

• Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên tập $D$ và $forall u,v in D$ thì $f(u) > f(v) Leftrightarrow u > v$
• Nếu hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên tập $D$ và $forall u,v in D$ thì $f(u) > f(v) Leftrightarrow u < v$

Ví dụ minh hoạ:

Các cách giải bất phương trình logarit cơ bản

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đối với bất phương trình logarit dạng $log{a}f(x)> log{a}g(x) (a>0, aneq 1)$, ta có các bước giải như sau:

• Nếu $a > 1$ thì $log{a}f(x) > log{a}g(x) Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (cùng chiều khi $a>1$)
• Nếu $0 < a < 1$ thì $log{a}f(x) > log{a}g(x) Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (ngược chiều khi $0 < a < 1$)

Ví dụ minh hoạ:

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với bất phương trình logarit chứa tham số, ta có các bước giải như sau:

• Cô lập tham số $m$, tách $m$ ra khỏi biến số $x$ rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x) geq P(m)$ hoặc $f(x) leq P(m)$
• Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập $D$
• Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số $P(m)$ sao cho:
  • Bất phương trình $f(x) leq P(m)$ có nghiệm trên $D Leftrightarrow P(m) geq max_{x in D} f(x)$
  • Bất phương trình $f(x) geq P(m)$ có nghiệm trên $D Leftrightarrow P(m) leq min_{x in D} f(x)$

Ví dụ minh hoạ:

2.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Đối với hàm số $y = f(t)$ xác định và liên tục trên miền $D$:

• Nếu hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên $D$ và $forall u,v in D$ thì $f(u) > f(v) Leftrightarrow u > v$
• Nếu hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên $D$ và $forall u,v in D$ thì $f(u) > f(v) Leftrightarrow u < v$

Ví dụ minh hoạ:

Cách giải bất phương trình logarit chứa tham số

3.1. Các dạng bài tập giải bất phương trình logarit chứa tham số thường gặp

Đối với các dạng bài tập thường gặp về bất phương trình logarit chứa tham số, có thể áp dụng các phương pháp sau:

Dạng 1: Tìm tham số $m$ để $f(x;m)=0$ có nghiệm (hoặc có nghiệm) trên tập xác định $D$

• Bước 1: Cô lập tham số $m$, tách $m$ ra khỏi biến số $x$ rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x)=P(m)$
• Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập $D$
• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số $P(m)$ sao cho đường thẳng $y=P(m)$ nằm ngang, cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$

Dạng 2: Tìm tham số $m$ để $f(x;m) geq 0$ hoặc $f(x;m) leq 0$ (hoặc có nghiệm) trên tập xác định $D$

• Bước 1: Cô lập tham số $m$, tách $m$ ra khỏi biến số $x$ rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x) geq P(m)$ hoặc $f(x) leq P(m)$
• Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập $D$
• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số $P(m)$ sao cho:
  • Bất phương trình $f(x) leq P(m)$ có nghiệm trên $D Leftrightarrow P(m) geq max_{x in D} f(x)$
  • Bất phương trình $f(x) geq P(m)$ có nghiệm trên $D Leftrightarrow P(m) leq min_{x in D} f(x)$

3.2. Các phương pháp giải bất phương trình logarit chứa tham số

• Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số: Đưa bất phương trình về dạng $f(u) > f(v)$ với $f(t)$ là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của bất phương trình. Khi đó $f(u) > f(v) Leftrightarrow u > v$
• Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $t= log_{a}u(x)$ tùy theo điều kiện của $x$ để tìm tập xác định của biến $t$
• Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2: Xét hàm số $f(x)=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x{1}$ và $x{2}$
  • Ta có $Delta = b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $x{1} + x{2}= -frac{b}{a}$ và $x{1}x{2}= frac{c}{a}$
  • Phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $Leftrightarrow Delta > 0$ và $x{1}+ x{2}> 0$ và $x{1}x{2}> 0$
  • Bất phương trình $f(x) > 0$ có 2 nghiệm trái dấu $Leftrightarrow ac< 0$
  • Bất phương trình $f(x) < 0$ có 2 nghiệm cùng dấu $Leftrightarrow ac> 0$
  • Bất phương trình $f(x) > 0; forall x in mathbb{R} Leftrightarrow a> 0$ và $Delta < 0$
  • Bất phương trình $f(x) < 0; forall x in mathbb{R} Leftrightarrow a<0$ và $Delta < 0$

Đăng ký ngay để được học và ôn thi môn Toán tại Kiến Thức Online 24h!