Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau – Công thức và bài tập có đáp án chi tiết

Trong toán học, việc xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách xác định nhanh cách tìm góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, cùng với công thức và bài tập có đáp án chi tiết.

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Trước hết, ta cần hiểu định nghĩa góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong không gian, cho trước hai đường thẳng a và b bất kỳ.

Từ một điểm O nào đó, ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ không thay đổi.

Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Nếu ư là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u, v) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° – α nếu 90° < α ≤ 180°. Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo 0° ≤ α ≤ 90°.

3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, chúng ta cần nhớ các công thức sau:

• Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $cos widehat{BAC} = frac{{AB^2 + AC^2 – BC^2}}{{2 cdot AB cdot AC}}$

Tương tự ta có: $cos widehat{ABC} = frac{{BA^2 + BC^2 – AC^2}}{{2 cdot BA cdot BC}}$ và $cos widehat{ACB} = frac{{CA^2 + CB^2 – AB^2}}{{2 cdot CA cdot CB}}$

Chú ý: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = AB cdot AC cdot cos widehat{BAC} = frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 – BC^2)$

• Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{CD}$ dựa vào công thức $cos(overrightarrow{AB}, overrightarrow{CD}) = frac{{overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{CD}}}{{|overrightarrow{AB}| cdot |overrightarrow{CD}|}} Rightarrow cos(AB,CD) = frac{{|overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{CD}|}}{{|overrightarrow{AB}| cdot |overrightarrow{CD}|}}$ từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA // (ABC) và SA = a√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Lời giải chi tiết
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra AM = CE = a/2.
Khi đó AE // CM ⇒ $widehat{AE;CM} = widehat{AN;AE} = varphi$.
Mặt khác SC = $sqrt{SA^2 + AC^2} = 2a$ ⇒ độ dài đường trung tuyến AN là AN = SC/2 = a/2 = CM = a√3/2.
Do Δ ABC đều nên CM ⊥ AM ⇒ AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó CE ⊥ AE mà CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ SE.
$Delta SEC$ vuông tại E có đường trung tuyến EN = SC/2 = a.
Ta có: $cos widehat{NAE} = frac{AN^2 + AE^2 – NE^2}{2.AN.AE} = frac{sqrt{3}}{4} > 0 ⇒ cos varphi = frac{sqrt{3}}{4}$.

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{AN} = frac{1}{2}(overrightarrow{AS} + overrightarrow{AC}); overrightarrow{CM} = overrightarrow{AM} – overrightarrow{AC} = frac{1}{2}overrightarrow{AB} – overrightarrow{AC}$.
Khi đó $overrightarrow{AN} cdot overrightarrow{CM} = frac{1}{2}(overrightarrow{AS} + overrightarrow{AC})(frac{1}{2}overrightarrow{AB} – overrightarrow{AC}) = frac{1}{4}overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} – frac{1}{2}AC^2 = frac{1}{4}AB.AC.cos 60° – frac{1}{2}AC^2 = frac{-3a^2}{8}$.
Lại có: AN = SC/2 = a; CM = a√3/2 ⇒ cos φ = $frac{| frac{-3a^2}{8}|}{a.frac{a√3}{2}} = frac{sqrt{3}}{4}$.

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = AB = a; AC = a√2 và BC = a√3. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Lời giải chi tiết
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó BC // SC ⇒ $widehat{SC;AB} = widehat{MP;MN}$.
Ta có: MN = AB/2 = a/2; MP = SC/2 = a/2.
Mặt khác $Delta SAC$ vuông tại S ⇒ SP = AC/2 = a√2/2.
Ta có: BP^2 = (BA^2 + BC^2)/2 – AC^2/4 = 3a^2/2 ⇒ BP = a√6/2.
Suy ra $PN^2 = (PS^2 + PB^2)/2 – SB^2/4 = 3a^2/4 ⇒ PN = a√3/2$.
Khi đó $cos widehat{NMP} = frac{M^2N^2 + M^2P^2 – N^2P^2}{2.MN.MP} = -frac{1}{2} Rightarrow widehat{NMP} = 120° Rightarrow varphi = widehat{SC;AB} = 60°$.

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{SC}.overrightarrow{AB} = (overrightarrow{SB} – overrightarrow{SA})(overrightarrow{AB}) = overrightarrow{SB}.overrightarrow{AB} – overrightarrow{SA}.overrightarrow{AB}$
= (SB^2 + SC^2 – AC^2)/2 – (SA^2 + SC^2 – BC^2)/2 = -a^2/2.
Lại có: SC = AB = a; AB = a√3 ⇒ cos (SC, AB) = $frac{| -frac{a^2}{2}|}{SC.AB} = frac{1}{2}$.

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB = x1, CD = x2; AC = y1, BD = y2, BC = z1, AD = z2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD.

Lời giải chi tiết
Ta có: $overrightarrow{BC}.overrightarrow{DA} = overrightarrow{BC}(overrightarrow{DC} + overrightarrow{CD}) = overrightarrow{CB}.overrightarrow{CD} – overrightarrow{CB}.overrightarrow{CD}$
= (1/2)(CB^2 + CD^2 – BD^2) – (1/2)(CB^2 + CA^2 – AB^2) = (1/2)(AB^2 + CD^2 – BD^2 – CA^2).
Khi đó $cos(overrightarrow{BC}, overrightarrow{AD}) = frac{|overrightarrow{BC}.overrightarrow{DA}|}{BC.DA} = frac{AB^2 + CD^2 – BD^2 – CA^2}{2.BC.AD}$.

Đặc biệt: Nếu AB = CD = x; AC = BD = y và BC = AD = z ta đặt $begin{cases} alpha = widehat{(BC, AD)} beta = widehat{(AB, CD)} gamma = widehat{(AC, BD)} end{cases}$ thì ta có:
$cos alpha = frac{x^2 – y^2}{z^2}; cos beta = frac{|y^2 – z^2|}{x^2}; cos gamma = frac{z^2 – y^2}{y^2}$.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA = asqrt(5). Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.

Lời giải chi tiết
Cách 1: Do SA = SB = √5a/2.
Ta có: $overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN} = overrightarrow{SM}(overrightarrow{SN} – overrightarrow{SD}) = overrightarrow{SM}.overrightarrow{SN} – overrightarrow{SM}.overrightarrow{SD}$
= (1/2)(SM^2 + SN^2 – MN^2) – (1/2)(SM^2 + SD^2 – MD^2) = (1/2)(AM^2 + MN^2 – MD^2) = 2a^2.
Lại có: SM = DN = √2a ⇒ cos (SM, DN) = $frac{|overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN}|}{SM.DN} = frac{2a^2}{2a.2a} = 1$.

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN} = frac{1}{2}(overrightarrow{SA} + overrightarrow{SB})(overrightarrow{SN} – overrightarrow{SD})$
= $frac{1}{2}(overrightarrow{SA}.overrightarrow{SN} – overrightarrow{SA}.overrightarrow{SD} + overrightarrow{SB}.overrightarrow{SN} – overrightarrow{SB}.overrightarrow{SD})$
= $frac{1}{2}(SA.SN – SA.SD + SB.SN – SB.SD) = frac{1}{2}(AM^2 + MN^2 – MD^2) = 2a^2$.
Lại có: SM = DN = √2a ⇒ cos (SM, DN) = $frac{|overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN}|}{SM.DN} = frac{2a^2}{2a.2a} = 1$.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $widehat{ABC} = 60°$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc $30°$. Tính cosin góc giữa:
a) SD và BC.
b) DH và SC, với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD).

Lời giải chi tiết
a) Do AB = BC = a, $widehat{ABC} = 60° ⇒ Delta ABC$ đều cạnh a.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên SH ⊥ AB.
Mặt khác $widehat{ABC} = 60° ⇒ widehat{BAD} = 120° ⇒ HD = sqrt{A{H^2} + A{D^2} – 2AH.AD.cos 120°} = frac{asqrt{7}}{2}$.
Suy ra SA = $sqrt{SH^2 + H{A^2}} = frac{asqrt{2}}{2}$, SD = $sqrt{SH^2 +

Nguồn: https://kienthuconline24h.com/