Toán học

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

05/01/2024

Tam giác là một trong những khái niệm cơ bản trong môn Toán. Để hiểu rõ hơn về tam giác, chúng ta cần tìm hiểu về các trường hợp bằng nhau của tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá ba trường hợp bằng nhau của tam giác và các dạng toán thường gặp liên quan đến chúng.

Tóm tắt

1. Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh

Trường hợp này xảy ra khi ba cạnh của một tam giác bằng ba cạnh của tam giác khác. Khi đó, hai tam giác đó sẽ bằng nhau.

Ví dụ:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:
- AB = DE
- AC = DF
- BC = EF
  Ta có: ∆ABC = ∆DEF (c – c – c)

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh

Trường hợp này xảy ra khi hai cạnh và góc xen giữa của một tam giác bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác khác. Khi đó, hai tam giác đó sẽ bằng nhau.

Ví dụ:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:
- AB = DE
- AC = DF
- ∠BAC = ∠EDF
  Ta có: ∆ABC = ∆DEF (c – g – c) (góc tương ứng) và BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý: Để kết luận hai tam giác bằng nhau trong trường hợp này, cặp góc bằng nhau phải nằm xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc

Trường hợp này xảy ra khi một cạnh và hai góc kề của một tam giác bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác khác. Khi đó, hai tam giác đó sẽ bằng nhau.

Ví dụ:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:
- ∠ABC = ∠DEF
- AB = DE
- ∠BCA = ∠EFD
  Ta có: ∆ABC = ∆DEF (g – c – g) (góc tương ứng) và AC = DE, BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý:

Cặp cạnh bằng nhau phải là cạnh tạo nên hai cặp góc bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.
Khi hai tam giác đã chứng minh bằng nhau, ta có thể suy ra những yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau.

Xem thêm: Cách chứng minh 2 góc bằng nhau như thế nào?

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trường hợp này áp dụng cho tam giác vuông, khi đó sẽ có một số trường hợp bằng nhau đặc biệt.

Trường hợp cạnh góc vuông – cạnh góc vuông (cgv – cgv): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, hai tam giác vuông đó sẽ bằng nhau.
Trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn (cgv – gn): Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh đó của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông kia, hai tam giác vuông đó sẽ bằng nhau.
Trường hợp cạnh huyền – góc nhọn (ch – gn): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia, hai tam giác vuông đó sẽ bằng nhau.

3. Ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác

Các trường hợp bằng nhau của tam giác được áp dụng rất phổ biến trong việc chứng minh, tính toán và so sánh các yếu tố trong tam giác. Dưới đây là một số ứng dụng thường gặp:

Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; …
Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; …
So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; …

4. Bài tập vận dụng Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Sau khi nắm vững các trường hợp bằng nhau của tam giác, chúng ta có thể áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài tập vận dụng. Dưới đây là một số bài tập để các bạn tự luyện tập:

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh

Bài 1: Chứng minh rằng AD // BC, với tam giác ABC, vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán kính BA, chúng cách nhau giữa ở D (D và B nằm khác phía đối với bờ AC).
Bài 2: Chứng minh rằng AM vuông góc với BC, với tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC.

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh

Bài 1: Chứng minh AB = AC, với đoạn thẳng BC. Gọi A là một điểm nằm trên đường trung trực xy của đoạn thẳng BC và M là giao điểm của xy với BC.
Bài 2: a) Chứng minh ∆AOC = ∆BOD, với tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE. b) Chứng minh O là trung điểm của CD, với tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc

Bài 1: Chứng minh độ dài đoạn thẳng BD = CE, với tam giác ABC và tam giác DEF có ∠ABC = ∠DEF.
Bài 2: Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng, với tam giác ABC (AB = AC) và I là trung điểm của đáy BC.

6. Bài tập tự luyện

Sau khi nắm rõ các trường hợp bằng nhau của tam giác, bạn có thể tự luyện tập với các bài tập sau:

Bài 1: Chứng minh ∆NMB = ∆NMC, với tam giác ABC, M là trung điểm BC, N là một điểm trong tam giác sao cho NB = NC.
Bài 2: Chứng minh ABE = ACE, với tam giác ABC có AB = AC và AE là phân giác của góc BAC.
Bài 3: Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC, với tam giác ABC có góc A = 40°, AB = AC.
Bài 4: a) Chứng minh BM = MD, với tam giác ABC có AM là phân giác của góc A. b) Chứng minh ∆DAK = ∆BAC, với tam giác ABC và tam giác ABD có AC = AD.
Bài 5: a) Chứng minh AK = KB, với tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 60°. b) Chứng minh AD = BC, với tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 60°.
Bài 6: Chứng minh ∆ABO = ∆COD, với tam giác ABC và tam giác ABD có đường cao OH.
Bài 7: a) Chứng minh ∆ABC = ∆ADC, với góc xAy khác góc bẹt. b) Chứng minh ∆DBE = ∆DCH, với góc xAy khác góc bẹt. c) Chứng minh ∆ABH = ∆ACE, với góc xAy khác góc bẹt.
Bài 8: a) Chứng minh ∆ODC = ∆OBE, với góc xOy khác góc bẹt. b) Chứng minh ∆AOB = ∆AOC, với góc xOy khác góc bẹt. c) Chứng minh BC vuông góc với OA, với góc xOy khác góc bẹt.
Bài 9: a) Chứng minh góc EAB = góc DAC, với tam giác ABC có AB = AC. b) Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng, với tam giác ABC có AB = AC.
Bài 10: a) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE, với tam giác ABC có AB = AC và AE là phân giác của góc BAC. b) Chứng minh AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC, với tam giác ABC có AB = AC.
Bài 11: a) Chứng minh ∆BDF = ∆EDC, với tam giác ABC có AB < AC. b) Chứng minh BF = EC, với tam giác ABC có AB < AC. c) Chứng minh F, D, E thẳng hàng, với tam giác ABC có AB < AC.
Bài 12: a) Chứng minh ∆OAD = ∆OBC, với góc xOy khác góc bẹt. b) So sánh 2 góc CAD và CBD, với góc xOy khác góc bẹt.
Bài 13: a) Chứng minh ∆ABC = ∆ABD, với tam giác ABC vuông ở A. b) Chứng minh ∆MBD = ∆MBC, với tam giác ABC vuông ở A.
Bài 14: a) Chứng minh ∆AOI = ∆BOI, với góc xOy và tia phân giác Oz của góc đó. b) Chứng minh AB ⊥ OI, với góc xOy và tia phân giác Oz của góc đó.
Bài 15: a) Chứng minh AC // BE, với tam giác ABC và tam giác ABE có ∠A = ∠EAB. b) Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng, với tam giác ABC và tam giác ABE có ∠A = ∠EAB.
Bài 16: Chứng minh hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau.
Bài 17: a) Chứng minh tam giác ACD và tam giác ABE bằng nhau, với góc vuông xAy. b) Chứng minh tam giác BOD và tam giác COE bằng nhau, với góc vuông xAy. c) Chứng minh AO vuông góc với DE, với góc vuông xAy.
Bài 18: a) Chứng minh tam giác ODC và tam giác OBE bằng nhau, với góc xOy khác góc bẹt. b) Chứng minh tam giác AOB và tam giác AOC bằng nhau, với góc xOy khác góc bẹt. c) Chứng minh BC vuông góc với OA, với góc xOy khác góc bẹt.
Bài 19: a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC, với tam giác ABC có AM là trung trực của đoạn thẳng BC. b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC, với tam giác ABC có AM là trung trực của đoạn thẳng BC.