Bất phương trình có nghiệm khi nào – Ôn tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Trong chương trình Toán 10 học kì 2, chúng ta sẽ được học về việc bất phương trình có nghiệm khi nào, áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm được sử dụng để tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, hoặc bất phương trình vô nghiệm. Đối với bất phương trình bậc hai một ẩn, chúng ta sử dụng các lập luận như sau:

• Nếu f(x) > 0 vô nghiệm thì f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Nghĩa là a > 0 và Δ ≤ 0.
• Nếu f(x) < 0 vô nghiệm thì f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Nghĩa là a < 0 và Δ ≤ 0.
• Nếu f(x) ≥ 0 vô nghiệm thì f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Nghĩa là a > 0 và Δ < 0.
• Nếu f(x) ≤ 0 vô nghiệm thì f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Nghĩa là a < 0 và Δ < 0.

Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m – 1)x2 + 2mx – 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn giải: Đặt (m – 1)x2 + 2mx – 3 = f(x)

• TH1: Nếu m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0 ⇒ x > 3/2 (Loại)
• TH2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R, ta cần xét điều kiện:

• Δ > 0 ⇒ (2m)2 – 4(m – 1)(-3) > 0 ⇒ 4m2 + 12m – 12 > 0
• Suy ra m > 1 hoặc m thuộc đoạn (-3 – √21/2, -3 + √21/2)
• Nên không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn giải

• Đối với bất phương trình (m – 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0:
  • TH1: Nếu m – 3 = 0 ⇒ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇒ x < -1 (Loại)
  • TH2: Nếu m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3
  • Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R, ta cần thỏa mãn điều kiện 4m2 – 12 < 0 ⇒ m > 1 hoặc m thuộc đoạn (11 – 4√6, 11 + 4√6)
  • Vậy m > 1 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
• Đối với bất phương trình (m – 1)x2 + (m – 3)x + 4 > 0:
  • TH1: Nếu m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇒ x < 2 (Loại)
  • TH2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1
  • Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R, ta cần thỏa mãn điều kiện 4m2 + 12m – 12 > 0 ⇒ m > 1 hoặc m thuộc đoạn (11 – 4√6, 11 + 4√6)
  • Vậy m > 1 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
• Các bài tập tương tự có thể giải bằng các phương pháp tương tự.

Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 – 2mx + 3m – 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2].

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 – 4x + 3m + 1 > 0.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m – 1)x2 + (2 – m)x – 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 – 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m – 1)x – m ≤ 0 đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m + 2)x2 + 2mx – 2 – m < 0 có nghiệm.

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = – (m2 + 2)x2 – 2mx + 1 – m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞).

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x + 3m+ 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5×2 – x + m > 0

b. mx2 – 10x – 5 < 0

c. m(m+2)x2 – 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m – 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (m – 5)x² – 2x + m + 1 > 0.

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:

a. 3×2 + 2(m – 1)x + m + 4 > 0

b. x2 + (m + 1)x + 2m + 7 > 0

c. 2×2 + (m – 2)x – m + 4 > 0

d. |3(m + 6)x2 – 3(m + 3)x + 2m – 3| > 3

Bài 14: Cho bất phương trình: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng .

Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

a. 3×2 – 2(m – 2)x + 2({m^2} – 2x + 2) > 0

b. x2 + (m + 1)x + 2m + 7 > 0

c. 2×2 + (m – 2)x – m + 4 > 0

e. (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0

f. |3(m + 6)x2 – 3(m + 3)x + 2m – 3| > 3

Đó là những gợi ý để tìm bất phương trình có nghiệm khi nào. Hy vọng các bạn đã hiểu và có thể áp dụng vào luyện tập của mình. Để tìm hiểu thêm về chủ đề này và các bài toán liên quan, bạn có thể truy cập trang web https://kienthuconline24h.com.